Garis Lurus 8.1

Dari Crayonpedia

Langsung ke: navigasi, cari

Untuk materi ini mempunyai 1 Kompetensi Dasar yaitu:

Kompetensi Dasar :

  1. Menentukan gradien, persamaan garis lurus
Dalam suatu perlombaan balap sepeda, seorang pembalap mengayuh sepedanya dengan kecepatan tetap. Setiap 5 detik, pembalap tersebut menempuh jarak 12 meter. Berapa jarak yang ditempuh pembalap setelah 1 jam?
Dalam fisika, gerak yang dialami oleh sepeda tersebut dinamakan Gerak Lurus Beraturan (GLB). GLB adalah gerak benda yang melintasi garis lurus dan dalam selang waktu yang sama benda menempuh perpindahan yang sama pula.
Perhitungan untuk kasus tersebut dapat diterjemahkan ke dalam koordinat Cartesius. Dalam koordinat tersebut, lamanya waktu dan jarak tempuh akan membentuk suatu garis lurus. Setelah ditentukan persamaan garis lurusnya, dapat ditentukan penyelesaian untuk kasus di atas.
Sebenarnya, apa yang dimaksud dengan garis lurus? Bagaimana dengan sifat-sifat dan perhitungannya? Pelajarilah materi bab ini dengan saksama.

Daftar isi

A. Pengertian Persamaan Garis Lurus

Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam koordinat Cartesius. Untuk itu, pelajarilah uraian berikut.

1. Koordinat Cartesius

Pada bab sebelumnya, kamu telah mengenal tentang bidang Cartesius. Coba kamu perhatikan Gambar 3.1 dengan seksama. Gambar tersebut menunjukkan bidang koordinat Cartesius yang memiliki sumbu mendatar (disebut
sumbu-x) dan sumbu tegak (disebut sumbu-y). Titik potong kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal atau titik pusat koordinat. Pada Gambar 3.1, titik pusat koordinat Cartesius ditunjukkan oleh titik O (0, 0). Sekarang, bagaimana menggambar titik atau garis pada bidang koordinat Cartesius?

a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius
Setiap titik pada bidang koordinat Cartesius dinyatakan dengan pasangan berurutan x dan y, di mana x merupakan koordinat sumbu-x (disebut absis) dan y merupakan koordinat sumbu-y (disebut ordinat). Jadi, titik pada bidang koordinat Cartesius dapat dituliskan (x, y). Pada Gambar 3.2 , terlihat ada 6 buah titik koordinat pada bidang koordinat Cartesius. Dengan menggunakan aturan penulisan titik koordinat, keenam titik tersebut dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut.


Contoh Soal :

Diketahui titik-titik pada bidang koordinat Cartesius sebagai berikut.
a. (10, –5)   c. (–7, –3)      e. (–4, 9)
b. (2, 8)      d. (6, 1)
Tentukan absis dan ordinat dari masing-masing titik tersebut.
Jawab :
a. Dari titik (10, –5) diperoleh absis: 10, ordinat: –5
b. Dari titik (2, 8) diperoleh absis: 2, ordinat: 8
c. Dari titik (–7, –3) diperoleh absis:–7, ordinat: –3
d. Dari titik (6, 1) diperoleh absis: 6, ordinat: 1
e. Dari titik (–4, 9) diperoleh absis:–4, ordinat: 9

Contoh Soal :

Gambarlah titik-titik berikut pada bidang koordinat Cartesius.
a. P (–4,–2)   c. R (0, –3)    e. T (3, 3)
b. Q (–2, 0)   d. S (1, –2)
Jawab :

b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius
Kamu telah memahami bagaimana menggambar titik pada bidang koordinat Cartesius. Sekarang bagaimana menggambar garis lurus pada bidang yang sama? Coba perhatikan Gambar 3.3

Perlu diingat, garis lurus adalah kumpulan titik-titik yang letaknya sejajar. Dari Gambar 3.3(a) , terlihat bahwa titik-titik P, Q, R, S, T, dan U memiliki letak yang sejajar dengan suatu garis lurus, misalkan garis k, seperti yang digambarkan pada Gambar 3.3(b). S ebuah garis lurus dapat terbentuk dengan syarat sedikitnya ada dua titik pada bidang koordinat Cartesius.

Contoh Soal :

1. Tentukan apakah titik-titik berikut membentuk garis lurus atau tidak?
a. A(0, 0), B(1, 1), C(2, 2) c. G(–2, 1), H(1, 0), I(4, 3)
b. D(2, –2), E(1, –1), F(0, 0) d. J(2, –2), K(3, 0), L(1, 1)
2. Gambarkan garis lurus yang melalui titik P(3, –3) dan Q(–3, 3).
Jawab :

























2. Garis lurus yang melalui titik P(3, –3) dan Q(–3, 3) dapat digambar sebagai
berikut.

2. Menggambarkan Persamaan Garis Lurus

Setelah kamu mempelajari materi sebelumnya, apa yang dapat kamu ketahui tentang persamaan garis lurus? Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Cara menggambar persamaan garis lurus adalah dengan menentukan nilai x atau y secara acak. Perlu diingat bahwa dua titik sudah cukup untuk membuat garis lurus pada bidang koordinat Cartesius. Untuk lebih jelasnya, pelajari Contoh Soal 3.4

Contoh Soal :

Gambarlah garis dengan persamaan:
a. x + y = 4,
b. x = 2y
Jawab :
a. Langkah pertama adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan x + y = 4.
Misalkan: x = 0 maka 0 + y = 4  y = 4, sehingga diperoleh titik koordinat (0, 4),
                x = 3 maka 3 + y = 4  y = 1, sehingga diperoleh titik koordinat (3, 1).

Kemudian, dari dua titik koordinat tersebut dapat digambarkan garis lurus seperti berikut.

b. Seperti sebelumnya, tentukan dahulu nilai x atau y yang memenuhi persamaan x = 2y.
Misalkan: x = 0 maka 0 = 2y  y = 0, sehingga diperoleh titik koordinat (0, 0),
               x = 4 maka 4 = 2y  y = 2, sehingga diperoleh titik koordinat (4, 2)
Kedua titik tersebut dapat digambar menjadi sebuah garis lurus sebagai berikut.

B. Gradien

Coba kamu perhatikan dengan saksama Gambar 3.4 berikut ini.

Dari Gambar 3.4 terlihat suatu garis lurus pada bidang koordinat Cartesius. Garis tersebut melalui titik A(–6, –3), B(–4, –2), C(–2, –1), D(2, 1), E(4, 2), dan F(6, 3). Perbandingan antara ordinat (y) dan absis (x) untuk masing-masing titik tersebut adalah sebagai berikut.

Perhatikan perbandingan ordinat dengan absis untuk setiap titik tersebut.
Semua titik memiliki nilai perbandingan yang sama, yaitu 1/2. Nilai tetap atau konstanta dari perbandingan ordinat dan absis ini disebut sebagai gradien.
Biasanya gradien dilambangkan dengan m. Apa sebenarnya yang dimaksud dengan gradien? Coba kamu pelajari uraian berikut ini.

1. Pengertian Gradien

Pernahkah kamu mendaki gunung? Jika ya, kamu pasti akan menyusuri lereng gunung untuk dapat sampai ke puncak. Lereng gunung memiliki kemiringan tanah yang tidak sama, ada yang curam ada juga yang landai. Sama halnya dengan garis yang memiliki kemiringan tertentu. Tingkat kemiringan garis inilah yang disebut gradien. Perhatikan kembali garis lurus pada Gambar 3.4, berdasarkan perbandingan ordinat dan absis maka tingkat kemiringan atau gradien garis tersebut adalah
1/2.

2. Perhitungan Gradien

Ada berbagai cara untuk menghitung gradien dari suatu persamaan garis. Hal ini bergantung pada letak titik koordinat dan bentuk persamaan garis yang diberikan. Berikut ini akan diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan titik koordinat atau bentuk persamaan garis.
a. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, gradien suatu garis dapat ditentukan melalui perbandingan antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut.

Image:garis lurus gbr 12.jpg

Dari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama dengan besar nilai konstanta m yang terletak di depan variabel x, dengan syarat, persamaan garis tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx. Untuk lebih jelasnya, pelajari lah Contoh Soal.

Contoh Soal :

Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.
 a. y = 2x    d. 2x + 3y = 0
 b. y = 3x    e. 4x – 6y = 0
 c. x = 2y
Jawab :
a. Persamaan garis y = 2x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = 2.
b. Persamaan garis y = –3x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = –3.
c. Persamaan garis x = 2y diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx
    sehingga

    Image:garis lurus gbr 13.jpg

    Persamaan garis y =1/2 x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m =1/2.
d. Persamaan garis 2x + 3y = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx
    sehingga

    Image:garis lurus gbr 14.jpg

    Persamaan garis y =–2/3 x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m =–2/3.
e. Persamaan garis 4x – 6y = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx
    sehingga

   Image:garis lurus gbr 15.jpg

   Persamaan garis y = 2/3 x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m =2/3.

b. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c
Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx, perhitungan gradien pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel x. U ntuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan Contoh Soal.

Contoh Soal :

Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.
a. y = 4x + 6      d. 3y = 6 + 9x
b. y = –5x – 8     e. 2 + 4y = 3x + 5
c. 2y = x + 12
Jawab :
a. Persamaan garis y = 4x + 6 sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi, nilai m = 4.
b. Persamaan garis y = –5x – 8 sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi, nilai m = –5.
c. Persamaan garis 2y = x + 12 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
    sehingga

   Image:garis lurus gbr 16.jpg

d. Persamaan garis 3y = 6 + 9x diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
    sehingga

   Image:garis lurus gbr 17.jpg

e. Persamaan garis 2 + 4y = 3x +5 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
    sehingga

    Image:garis lurus gbr 18.jpg

c. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax + by + c = 0
Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut ke dalam bentuk y = mx + c. Kemudian, nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta m di depan variabel x. Perhatikan Contoh Soal.

Contoh Soal :

Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.
 a. x + 2y + 6 = 0      d. 4x + 5y = 9
 b. 2x – 3y – 8 = 0      e. 2y – 6x + 1 = 0
 c. x + y – 10 = 0
Jawab :
a. Persamaan garis x + 2y + 6 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
    sehingga

   Image:garis lurus gbr 19.jpg

b. Persamaan garis 2x – 3y – 8 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
    sehingga

   Image:garis lurus gbr 20.jpg

c. Persamaan garis x + y –10 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
    sehingga
    x + y –10 = 0
    y = –x + 10           Jadi, nilai m = –1.
d. Persamaan garis 4x + 5y = 9 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
    sehingga

   Image:garis lurus gbr 21.jpg

e. Persamaan garis 2y – 6x + 1 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c
    sehingga

   Image:garis lurus gbr 22.jpg

d. Menghitung Gradien pada Garis yang Melalui Dua Titik
Coba kamu perhatikan Gambar 3.5 berikut.

Gambar 3.5 menunjukkan tiga buah segitiga ABC, DEF, dan GHI yang memiliki sisi miring dengan tingkat kemiringan atau gradien yang berbedabeda. Dengan menggunakan perbandingan ordinat dan absis, gradien untuk masing-masing segitiga dapat dihitung sebagai berikut.

Sekarang, perhatikan Gambar 3.6 . Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis lurus pada bidang koordinat yang melalui titik P dan R. Untuk mencari gradien garis tersebut, kamu tinggal menentukan gradien PR pada segitiga PQR. Dengan menggunakan perbandingan ordinat dan absis, akan diperoleh gradien garis yang melalui titik P dan R, yaitu:

   Image:garis lurus gbr 25.jpg

Jadi, gradien garis yang melalui P(1, 3) dan R(7, 6) pada Gambar 3.6 adalah 1/2. Dari uraian tersebut diperoleh rumus umum untuk mencari gradien pada garis yang melalui dua titik, sebagai berikut.


Contoh Soal :

Tentukanlah gradien garis yang melalui titik-titik koordinat berikut.
a. A(2, 2) dan B(4, 4)
b. C(3, 1) dan D(2, 4)
c. E(–2, –3) dan F(–4, 2)
Jawab :

  Image:garis lurus gbr 27.jpg

3. Sifat-Sifat Gradien

Ada beberapa sifat gradien yang perlu kamu ketahui, di antaranya adalah gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x, gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y, gradien dua garis yang sejajar, dan gradien dua garis yang saling tegak lurus. Berikut ini akan diuraikan sifat-sifat gradien tersebut.
a. Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu-x
Perhatikan gambar berikut.

Pada Gambar 3.7 , terlihat garis k yang melalui titik A(–1, 2) dan B(3, 2). Garis tersebut sejajar dengan sumbu-x. Untuk menghitung gradien garis k, gunakan cara sebagai berikut.
Untuk titik A(–1, 2) maka x1 = –1, y1 = 2.
Untuk titik B(3, 2) maka x2 = 3, y2 = 2.

  Image:garis lurus gbr 29.jpg

Coba kamu periksa titik-titik lain pada garis k dan hitunglah gradiennya. Apakah nilai gradiennya sama dengan 0? Uraian tersebut memperjelas tentang gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x, yaitu sebagai berikut.

Jika garis sejajar dengan sumbu- x maka nilai gradiennya adalah nol.

b. Gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y
Perhatikan gambar berikut.

Pada Gambar 3.8 , garis l yang melalui titik C(1, 3) dan D(1, –1). letaknya sejajar dengan sumbu-y. Gradien garis tersebut adalah sebagai berikut.
Untuk titik C(1, 3) maka x1 = 1, y1 = 3.
Untuk titik D(1, –1) maka x2 = 1, y2 = –1.

Image:garis lurus gbr 31.jpg

Perhitungan di atas, memperjelas sifat gradien berikut.

Jika garis sejajar dengan sumbu-y maka garis tersebut tidak memiliki gradien.

c. Gradien Dua Garis yang Sejajar
Sekarang coba kamu perhatikan Gambar 3.9

Garis k dan l merupakan dua garis yang sejajar. Bagaimana gradien kedua garis tersebut? Perhatikan uraian berikut.
• Garis k melalui titik A(–2, 0) dan B(0, 2).
    Untuk titik A(–2, 0) maka x1 = –2, y1 = 0.
    Untuk titik B(0, 2) maka x2 = 0, y2 = 2.

    Image:garis lurus gbr 33.jpg

• Garis l melalui titik C(0, –1) dan D(1, 0).
    Untuk titik C(0, –1) maka x1 = 0, y1 = –1.
    Untuk titik D(1, 0) maka x2 = 1, y2 = 0.

   Image:garis lurus gbr 34.jpg

Dari uraian tersebut terlihat bahwa garis k dan l memiliki gradien yang sama.

Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.

d. Gradien Dua Garis yang Tegak Lurus
Coba kamu perhatikan Gambar 3.10 . Pada gambar tersebut terlihat garis k tegak lurus dengan garis l.

Gradien kedua garis tersebut dapat dihitung dengan cara sebagai berikut.
• Garis k melalui titik C(3, 0) dan D(0, 3).
   Untuk titik C(3, 0) maka x1 = 3, y1 = 0.
   Untuk titik D(0, 3) maka x2 = 0, y2 = 3.

  Image:garis lurus gbr 36.jpg

• Garis l melalui titik A(–1, 0) dan B(0, 1).
   Untuk titik A(–1, 0) maka x1 = –1, y1 = 0.
   Untuk titik B(0, 1) maka x2 = 0, y2 = 1.

Image:garis lurus gbr 37.jpg

Hasil kali kedua gradien tersebut adalah

  mAB × mCD = 1 × –1 = –1
Uraian tersebut memperjelas hal berikut:

Hasil kali antara dua gradien dari garis yang saling tegak lurus adalah –1.

Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan dan pelajari contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal :

  Image:garis lurus gbr 38.jpg

Contoh Soal :

Image:garis lurus gbr 39.jpg

C. Menentukan Persamaan Garis Lurus

Pada subbab sebelumnya, kamu telah mempelajari bagaimana menggambar persamaan garis lurus pada bidang koordinat Cartesius dan menentukan gradien dari suatu persamaan garis. Sekarang, bagaimana menentukan persamaan garis dari suatu titik atau gradien? Masih ingatkah kamu tentang gradien yang diperoleh dari perbandingan ordinat dan absis? Bentuk tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

   Image:garis lurus gbr 40.jpg

Bentuk y = mx merupakan bentuk persamaan garis lurus sederhana. Dikatakan sebagai bentuk sederhana karena garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut selalu melalui titik pusat koordinat. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh Soal

Contoh Soal :

Tentukan persamaan garis untuk garis yang melalui titik O (0, 0) dan memiliki:
a. gradien 2,
b. gradien –3,
c. gradien 1.
Jawab :
a. y = mx maka y = (2)x  y = 2x
b. y = mx maka y = (–3)x  y = –3x
c. y = mx maka y = (1)x  y = x

Adapun bentuk umum dari persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai berikut.

Persamaan garis ini hampir sama dengan bentuk sederhananya, namun diberi tambahan konstanta (diberi lambang c). Hal ini menunjukkan bahwa garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut tidak akan melalui titik O(0, 0).
Setelah kamu memahami bentuk sederhana dan bentuk umum persamaan garis, berikut ini akan diuraikan bagaimana menentukan sebuah persamaan garis dari titik koordinat atau gradien.

1. Menentukan Persamaan Garis dari Gradien dan Titik Koordinat

Sekarang, coba kamu perhatikan Gambar 3.1. Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis k pada bidang koordinat Cartesius. Garis tersebut melalui titik A(x1, y1) dan tidak melalui titik pusat koordinat sehingga persamaan garis pada Gambar 3.11 dapat dituliskan:
     y1 = mx1 + c ....(1)
Adapun bentuk umum persamaan garis yang tidak melalui titik pusat koordinat dituliskan:
       y = mx + c ....(2)

Jika ditentukan selisih dari persamaan (2) dan persamaan (1) maka diperoleh:

  Image:garis lurus gbr 43.jpg

Selanjutnya diperoleh rumus umum untuk menentukan persamaan garis jika diketahui gradien dan titik koordinat, yaitu:

Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan dan pelajari Contoh Soal.

Contoh Soal :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(3, 5) dan memiliki gradien –2.
Jawab :
Untuk titik P(3, 5) maka x1 = 3, y1 = 5.
Dengan menggunakan rumus umum, diperoleh persamaan garis:
 fi y – y1 = m (x – x1)
     y – 5 = –2 (x – 3)
     y – 5 = –2x + 6
           y = –2x + 6 + 5
           y = –2x + 11 atau 2x + y – 11 = 0

Contoh Soal :

Tentukan persamaan garis yang melalui:
a. titik K(–2, –4) dan sejajar dengan garis 3x + y – 5 = 0,
b. titik R(1, –3) dan sejajar dengan garis yang melalui titik A(4, 1) dan B(–1, 2),
c. titik L(5, 1) dan tegak lurus dengan garis x –2y + 3 = 0.
Jawab :
a. • Langkah pertama, tentukan gradien garis 3x + y – 5 = 0.
       3x + y – 5 = 0
                     y = –3x + 5
      diperoleh m = –3.
• Oleh karena garis h sejajar dengan garis 3x + y – 5 = 0 maka garis h
   memiliki gradien yang sama, yaitu m = –3.
   Garis h melalui K(–2, –4) maka x1 = –2, y1 = –4.
• Langkah kedua, tentukan persamaan garis h sebagai berikut
      y – y1 = m (x – x1)
    y – (–4) = –3(x – (–2))
       y + 4 = –3x – 6
             y = –3x – 6 – 4
             y = –3x –10
Jadi, persamaan garis h adalah y = –3x – 10 atau 3x + y + 10 = 0

b. • Langkah pertama, tentukan gradien garis yang melalui titik A(4, –1) dan B(–1, 2).
       Untuk titik A(4, –1) maka x1 = 4, y1 = –1.
       Untuk titik B(–1, 2) maka x2 = –1, y2 = 2.

       Image:garis lurus gbr 45.jpg

• Oleh karena garis h sejajar dengan garis yang melalui titik A dan B
   maka garis h yang melalui titik R (1, –3) memiliki gradien yang sama
   dengan garis AB yaitu

      Image:garis lurus gbr 46.jpg

   Untuk titik R(1, –3) maka x1 = 1, y1 = –3
• Langkah kedua, tentukan persamaan garis h dengan rumus

   Image:garis lurus gbr 47.jpg

c. • Langkah pertama, tentukan gradien garis x – 2y + 3 = 0.

   Image:garis lurus gbr 48.jpg

• Oleh karena h tegak lurus dengan garis x – 2y + 3 = 0 maka gradien
   garis h yang melalui titik L(5, 1) adalah

    Image:garis lurus gbr 49.jpg

• Langkah kedua, tentukan persamaan garis mL = mh = gradien garis h
   melalui titik L(5, 1) dengan h melalui gradien m = –2.
   Untuk titik L(5, 1) maka x1 = 5, y1 = 1.

 Image:garis lurus gbr 50.jpg

2. Menentukan Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik

Pada bagian sebelumnya, kamu telah mempelajari cara menentukan persamaan garis yang melalui satu titik koordinat dan gradiennya diketahui. Sekarang, kamu akan mempelajari bagaimana menentukan persamaan garis yang melalui dua titik. Caranya hampir sama dengan rumus umum yang telah dipelajari sebelumnya.
Coba kamu perhatikan uraian berikut :
• y – y1 = m (x – x1) adalah rumus umum persamaan garis dari gradien dan titik koordinat.
Image:garis lurus gbr 51.jpg

Jadi, rumus untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua titik koordinat adalah

Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan Contoh Soal.

Contoh Soal :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik koordinat berikut.
a. A (3, 3) dan B (2, 1)
b. C (–1, 4) dan D (1, 3)
c. E (6, 10) dan F (–5, 2)
Jawab :
a. Untuk titik A (3, 3) maka x1 = 3 dan y1 = 3.
    Untuk titik B (2, 1) maka x2 = 2 dan y2 =1.
    Persamaan yang diperoleh:

    Image:garis lurus gbr 53.jpg

    –1 (y – 3) = –2 (x – 3)
    –y + 3 = –2x + 6
    2x – y + 3 – 6 = 0
    2x – y – 3 = 0
   Jadi, persamaan garisnya adalah 2x – y – 3 = 0.
b. Untuk titik C (–1, 4) maka x1 = –1 dan y1 = 4
    Untuk titik D (1, 3) maka x2 = 1 dan y2 = 3
    Persamaan garis yang diperoleh:

    Image:garis lurus gbr 54.jpg

   Jadi, persamaan garisnya adalah x + 2y – 7 = 0.
c. Untuk titik E (6, 10) maka x1 = 6 dan y1=10
    Untuk titik F(–5, 2) maka x2 = –5 dan y2 = 2
    Persamaan garis yang diperoleh:

    Image:garis lurus gbr 55.jpg

3. Menentukan Koordinat Titik Potong dari Dua Garis Lurus

Coba kamu perhatikan Gambar 3.12

Dari Gambar 3.12 , terdapat dua garis dalam bidang koordinat, yaitu garis k dan l. Dalam Gambar 3.12(a) , kedua garis tersebut sejajar. Adapun pada Gambar 3.12(b) , kedua garis tersebut tidak sejajar sehingga keduanya berpotongan di suatu titik, yaitu titik A (x1, y1). Jadi, koordinat titik potong dapat dicari dari dua garis yang tidak sejajar.
Sekarang, bagaimana cara menentukan koordinat titik potong dari dua persamaan garis yang diketahui? Ada dua cara yang dapat digunakan, yaitu cara menggambar (cara grafik) dan cara substitusi. Untuk itu, pelajari uraian berikut.
a. Cara Grafik
Dengan cara ini, dua persamaan garis digambar ke dalam bidang koordinat Cartesius sehingga koordinat titik potong kedua garis tersebut dapat dilihat dari gambar. Perhatikan Contoh Soal.

Contoh Soal :

Image:garis lurus gbr 57.jpg

b. Cara Substitusi
Dengan cara substitusi, salah satu variabel dari persamaan garis yang diketahui dimasukkan (disubstitusikan) ke dalam variabel yang sama dari persamaan garis yang lain. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh Soal.

Contoh Soal :

Dengan cara substitusi, tentukan koordinat titik potong antara garis 3x + y = 5 dan
garis 2x – 3y = 7.
Jawab :
Ikuti langkah-langkah berikut.
• Ambil salah satu persamaan garis, misalnya 3x + y = 5.
• Tentukan salah satu variabel dari garis tersebut, misalnya y.
   3x + y = 5 maka y = 5 – 3x.
• Substitusikan nilai y tersebut ke dalam persamaan garis yang lain.
             2x – 3y = 7
   2x – 3(5 – 3x) = 7
    2x – 15 + 9x = 7
            2x + 9x = 7 + 15
                  11x = 22
                      x = 2
• Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan garis.
       3x + y = 5
   3 (2) + y = 5
         6 + y = 5
               y = 5 – 6
               y = –1
• Diperoleh x = 2 dan y = –1. Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu adalah (2, –1)

4. Aplikasi Persaman Garis Lurus

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bidang-bidang yang menggunakan aplikasi persamaan garis lurus. Misalnya, perhitungan kecepatan-jarak-waktu dalam fisika dan perhitungan harga barang dan titik impas dalam ekonomi. Coba kamu pelajari Contoh Soal. Aplikasi Persaman Garis Lurus Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bidang-bidang yang menggunakan aplikasi persamaan garis lurus. Misalnya, perhitungan kecepatan-jarak-waktu dalam fisika dan perhitungan harga barang dan titik impas dalam ekonomi. Coba kamu pelajari Contoh Soal.

Contoh Soal :

1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap 15 km/jam. Setelah 3 jam,
    mobil tersebut menempuh jarak 45 km. Berapa lama waktu yang diperlukan
    mobil tersebut untuk menempuh jarak 90 km?
2. Harga dua buah permen dan tiga buah cokelat adalah Rp800,00. Adapun harga
    sebuah permen dan lima buah cokelat adalah Rp1.100,00. Tentukan:
    a. harga sebuah permen,
    b. harga sebuah cokelat,
    c. harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat.
Jawab :
1. Coba perhatikan gambar berikut. Gambar tersebut merupakan terjemahan dari
    soal kecepatan-jarak-waktu yang diberikan. Titik koordinat A (15, 1) merupakan
    kecepatan mobil, yaitu 15 km/jam. Titik koordinat B (45, 3) merupakan jarak dan
    waktu tempuh mobil yang diketahui, yaitu 45 km dalam waktu 3 jam.
    Dari titik A dan B dapat ditarik garis lurus sehingga diperoleh penyelesaian
    bahwa untuk menempuh jarak 90 km, mobil tersebut memerlukan waktu 6 jam.
      Image:garis lurus gbr 58.jpg

2. Untuk menjawab soal ini, ikuti langkah-langkah berikut.
  • Gunakan pemisahan untuk nama benda.
     Misalkan: permen = x
     cokelat = y
 • Terjemahkan ke dalam model matematika.
    2 permen + 3 cokelat = Rp800,00 berarti 2x + 3y = 800
    1 permen + 5 cokelat = Rp1100,00 berarti x + 5y = 1.100
 • Ambil salah satu persamaan dan ketentuan salah satu variabelnya.
    x + 5y = 1.100 maka x = 1.100 – 5y.
 • Substitusikan nilai x ke dalam persamaan yang lain
                     2x + 3y = 800
   2 (1.100 – 5y) + 3y = 800
      2.200 – 10y + 3y = 800
                 2.200 – 7y = 800
                            –7y = 800 – 2.200
                            –7y = –1.400
                                y = 200
 • Substitusikan nilai y ke dalam salah satu persamaan.
            x + 5y = 1.100
    x + 5 (200) = 1.100
       x + 1.000 = 1.100
                     x = 1.100 – 1.000
                    x = 100
  Dengan demikian, diperoleh:
   a. harga sebuah permen = x = Rp100,00
   b. harga sebuah cokelat = y = Rp200,00
   c. harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat = 4x + y
                                                                          = 4 (Rp100,00) + (Rp200,00)
                                                                          = Rp600,00


Beri Penilaian

Rating : 4.4/5 (64 votes cast)


Peralatan pribadi