BAB 4. BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR.

Dari Crayonpedia

Langsung ke: navigasi, cari

Daftar isi

BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR

Dalam suatu lomba gerak jalan, setiap regu terdiri dari 27 orang yang disusun menjadi 9 baris dan tiap baris terdiri dari 3 orang. Kemudian 9 baris tersebut dibagi menjadi 3 bagian dan tiaptiap bagian terdiri dari 3 baris, yaitu bagian depan, tengah, dan belakang. Masing-masing bagian diberi jarak 1 baris. Hal ini dilakukan untuk memudahkan dewan juri dalam mengecek jumlah orang tiap regu. Jika tiap regu terdiri dari 3 bagian dan tiap bagian terdiri dari 3 baris, serta tiap baris terdiri dari 3 orang maka jumlah peserta dalam regu tersebut tepat 27 orang. Untuk menuliskan jumlah tiap regu dalam permasalahan di atas, sebenarnya dapat dilakukan dengan cara yang lebih efektif dan efisien, yaitu dengan cara notasi bilangan berpangkat. Agar lebih memahami bilangan berpangkat dan bentuk akar, pelajarilah bab ini sehingga kalian dapat mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar, melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat dan bentuk akar, serta dapat memecahkan masalah sederhana yang berkaitan dengan materi ini.

A. Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat

Setiap manusia yang hidup pasti dia akan membutuhkan sesuatu atas dirinya seperti makan, bernafas, pakaian, tempat tinggal, dan lain-lain. Kebutuhan-kebutuhan manusia sebagian besar diperoleh tidak dengan cuma-cuma. Diperlukan sebuah usaha untuk mendapatkannya baik mencari, membeli, dan usaha-usaha yang lainnya.

Untuk membeli sebuah kebutuhan, kadang manusia harus mengeluarkan uang dalam jumlah besar. Misal untuk membeli rumah mewah manusia harus mengeluarkan uang sebesar 1 milyar rupiah. Jika dalam matematika 1 milyar dapat dituliskan dengan 1.000.000.000. Agaknya untuk menuliskan jumlah tersebut terlalu panjang, dapat juga dituliskan dalam bentuk baku yaitu 1 × 109. Nah, bilangan yang dituliskan sebagai 109 inilah yang disebut sebagai bilangan berpangkat. Dalam hal ini 10 disebut bilangan pokok, sedangkan 9 disebut bilangan pangkat. Karena pangkatnya bilangan bulat, maka disebut bilangan berpangkat bilangan bulat.

1. Bilangan Berpangkat Sederhana

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian bilangan-bilangan sebagai berikut.

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_2.jpg

Perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama seperti di atas, disebut sebagai perkalian berulang. Setiap perkalian berulang dapat dituliskan secara ringkas dengan menggunakan notasi bilangan berpangkat. Perkalian bilanganbilangan di atas dapat kita tuliskan dengan:

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_3.jpg

Bilangan 23, 35, 66 disebut bilangan berpangkat sebenarnya karena bilangan-bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang. Bilangan berpangkat an dengan n bilangan bulat positif didefinisikan sebagai berikut.

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_4.jpg


3. Bilangan Berpangkat Negatif

Apa yang terjadi jika m = 0? Dari pembahasan di atas jika dipilih m = 0, maka:

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_6.jpg


B. Bilangan Pecahan Berpangkat

Untuk menentukan hasil pemangkatan bilangan pecahan berpangkat dapat di gunakan definisi bilangan berpangkat. Jika a, b∈ B, b ≠ 0, n adalah bilangan bulat positif maka:

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_9.jpg

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_10.jpg


C. Bentuk Akar

Dalam matematika kita mengenal berbagai jenis bilangan. Beberapa contoh jenis bilangan diantaranya adalah bilangan rasional dan irrasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n ∈ B dan n ≠ 0. Contoh bilangan rasional seperti: , 5, 3 dan seterusnya. Sedangkan bilangan irrasional adalah bilangan riil yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n ∈ B dan n ≠ 0. Bilangan-bilangan seperti termasuk bilangan irrasional, karena hasil akar dari bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional.

Bilangan-bilangan semacam itu disebut bentuk akar. Sehingga dapat disimpulkan bahwa bentuk akar adalah akar-akar dari suatu bilangan riil positif, yang hasilnya merupakan bilangan irrasional.

1. Operasi Hitung Bentuk Akar

Dua bilangan bentuk akar atau lebih dapat dijumlahkan, dikurangkan, maupun dikalikan.

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Untuk memahami cara menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar, perhatikan contoh - contoh berikut.

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_13.jpg

Dari contoh di atas, maka untuk menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar dapat dirumuskan sebagai berikut. Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, berlaku hubungan:

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_14.jpg

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_15.jpg

b. Perkalian Bentuk Akar
Untuk sembarang bilangan bulat positif a dan b berlaku sifat perkalian berikut.

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_16.jpg

Sifat di atas sekaligus dapat digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar.

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_17.jpg

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_18.jpg

c. Pemangkatan Bilangan Bentuk Akar
Bentuk akar juga dapat dipangkatkan. Adapun pemangtkatan bentuk akar akar didapat beberapa sifat.

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_19.jpg

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_20.jpg

2) Pemangkatan bentuk dengan pangkat negatif
Bentuk akar dengan pangkat negatif sama halnya dengan bilangan berpangkat bilangan negatif. Sehingga:

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_21.jpg

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_22.jpg

2. Hubungan Bentuk Akar dengan Pangkat Pecahan

Pada pembahasan yang lalu telah disebutkan beberapa sifat dari bilangan berpangkat bulat positif. Sifat-sifat tersebut akan digunakan untuk mencari hubungan antara bentuk akar dengan pangkat pecahan. Sifat yang dimaksud adalah .

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_23.jpg

Selain sifat tersebut terdapat sifat lain, yaitu:Jika ap = aq maka p = q dengan a > 0, a ≠ 1

a. Hubungan dengan
Perhatikan pembahasan berikut.

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_24.jpg

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_25.jpg

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa untuk a bilangan real tidak nol dan n bilangan bulat positif, maka:

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_26.jpg

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_27.jpg

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_28.jpg

D. Merasionalkan Bentuk Akar Kuadrat

Dalam sebuah bilangan pecahan penyebutnya dapat berupa bentuk akar. Pecahan adalah beberapa contoh pecahan yang penyebutnya berbentuk akar. Penyebut pecahan seperti itu dapat dirasionalkan. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan tergantung dari bentuk pecahan tersebut.

1. Merasionalkan Bentuk

Untuk menghitung nilai ada cara yang lebih mudah daripada harus membagi 6 dengan nilai pendekatan dari 3, yaitu dengan merasionalkan penyebut. Cara ini dapat dilakukan dengan menggunakan sifat perkalian bentuk akar:

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_30.jpg

Selanjutnya pecahan diubah bentuknya dengan memanipulasi aljabar.

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_31.jpg

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_32.jpg

2. Merasionalkan Bentuk

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_33.jpg

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_34.jpg

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_35.jpg

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_36.jpg

Image:Bilangan_DAn_Bntuk_Akar_37.jpg


Beri Penilaian

Rating : 4.3/5 (529 votes cast)


Peralatan pribadi